Gegeben ist die Funktion \(f\) mit der Gleichung \(f(x)=8x \cdot e^{-0,25x^2}\), \(x \in \mathbb R\). Der Graph der Funktion \(f\) wird in der Abbildung dargestellt.
Die Lösungsvorschläge liegen nicht in der Verantwortung des jeweiligen Kultusministeriums.
Aufgabe 1
Dauer:41 Minuten17 Punkte
a)
Begründen Sie, dass der Graph der Funktion \(f\) symmetrisch zum Ursprung ist.
Berechnen Sie die Nullstellen der Funktionen \(f\) und \(f'\). Untersuchen Sie, an welchen Stellen ein lokales Maximum bzw. Minimum der Funktion \(f\) vorliegt.
[Zur Kontrolle: \(f'(x)= (8-4x^2) \cdot e^{-0,25x^2}\)]
Zeigen Sie, dass die Funktion \(f\) genau 3 verschiedene Wendestellen besitzt.
[Zur Kontrolle: \(f''(x)= x \cdot (2x^2 - 12 ) \cdot e^{-0,25x^2}\)]
Aufgabe 2
Dauer:22 Minuten9 Punkte
b)
Gegeben ist die Ursprungsgerade mit der Gleichung , , wobei eine positive reelle Zahl ist.
Beweisen Sie: Genau für schneidet die Gerade den Graphen der Funktion im I. Quadranten im Ursprung und in einem davon verschiedenen Punkt .
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes .
[Zur Kontrolle: besitzt die -Koordinate .]
Aufgabe 3
Dauer:29 Minuten12 Punkte
c)
Zeigen Sie, dass die Funktion mit der Gleichung
eine Stammfunktion der Funktion ist.
Es sei die Ursprungsgerade mit der Gleichung , . Erklären Sie, dass die Gerade und der Graph der Funktion im I. Quadranten eine Fläche einschließen. Ermitteln Sie den Inhalt dieser Fläche.
Aufgabe 4
Dauer:28 Minuten12 Punkte
d)
Man betrachtet den Graphen der Funktion . Die Punkte und seien wie in b) (1) definiert. Zusätzlich sei der Punkt die senkrechte Projektion des Punktes auf die -Achse.
Zeigen Sie: Der Flächeninhalt des Dreiecks ist:
Untersuchen Sie, für welche der Flächeninhalt des Dreiecks maximal wird.